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By Gao J.

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Surgery on simply-connected manifolds

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Example text

Br , da man sonst wieder q mit einer Br¨ucke der L¨ange < r erreichen k¨onnte. Wir bilden nun W1 , indem wir auf b1 bis f1 und dann auf W1 bis q laufen; f¨ur i = 2, . . , n setzen wir Wi = Wi . Dann gilt I (Wi ) ∩ I (W1 ) = ∅ f¨ur i = 1. Schließlich bilden wir b2 , indem wir von p auf W1 bis e2 und dann auf b2 bis f2 laufen. Offenbar ist nun b2 , b3 , . . , br eine Br¨ucke f¨ur W1 , . . , Wn , u¨ ber welche q erreichbar ist; sie hat aber nur die L¨ange r − 1. Damit ist alles bewiesen. 9. Der Satz von K¨onig folgt leicht aus dem von Menger.

Als erstes beschaffen wir uns daf¨ur ein zu X disjunktes zweites Exemplar X von X, d. h. eine zu X gleichm¨achtige Menge X mit X ∩ X = ∅ und eine Bijektion π : X → X ; wir schreiben der Einfachheit halber x statt π(x). Nun setzen wir E = {xy | x, y ∈ X, x ≺ y} . und erhalten einen bipartiten Graphen G = (X ∪ X , E). 2 Zum Heiratssatz verwandte S¨atze 33 wobei n = |X| ist. Es sei also {vi wi : i = 1, . . , k} ein Matching von G. Dann gilt v1 ≺ w1 , . . , vk ≺ wk in X, wobei die Elemente v1 , .

X bipartiten Graphen G = (S ∪ T , E) mit S = m+1 ∩ A sowie T = X m \ A, dessen Kanten genau die Paare (M, N) ∈ S × T mit M ⊃ N seien. Dann liegt jeder der s Punkte M ∈ S auf genau m + 1 Kanten (womit G also genau s(m + 1) Kanten enth¨alt), da ja keine der m + 1 in M enthaltenen m-Teilmengen zu der Antikette A geh¨oren kann. Andererseits besteht T ebenfalls aus genau s Punkten (da ja X m ∩A wegen der Maximalit¨at von A M¨achtigkeit B − s hat), von denen jeder offenbar auf h¨ochstens n − m = m + 1 Kanten liegen kann.

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